乐音体系是有限多个音级构成的集合[1]。律学（temperament）要解决的问题就是确定这个集合中的各个元素。举例来说，它决定钢琴的88个按键各自要发出什么频率的声音？吉他的每一根品丝要安在什么位置？竹笛要在哪里打孔？
律学让我们能制定乐谱，传唱数千年前的乐曲。律学还能调整乐器之间的关系，使它们合奏的声音保持和谐。回顾历史可以发现，古代世界各地的人们在制定乐律方面，往往做出了相似的选择。乍看之下，这像是一个令人惊讶的巧合。但假如我们了解音乐背后的数学，我们会发现这可能不是偶然。
三分损益法
在古代中国，《管子·地员篇》中有如下记载：
凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九；以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为征。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分而复于其所，以是成羽。有三分去其乘，适足，以是成角。
按照文字描述，首先确定宫音对应的数为\(3^4=81\)；而后“三分而益之”得徵音，其数为\(81\times(1+\frac{1}{3})=108\)；再“三分损一”得到商音，其数为\(108\times(1-\frac{1}{3})=72\)；接著“三分益一”得到羽音为\(72\times\frac{4}{3}=96\)；最后再“三分损一”得到角音为\(96\times\frac{2}{3}=64\). 这就是中国古代的三分损益法。
三分损益法算得的是音对应的管长或弦长，与频率成反比。因此按照频率从低到高排列这五音，顺序是
| 征 | 羽 | 宫 | 商 | 角 |
| 108 | 96 | 81 | 72 | 64 |
五度相生律
古希腊的毕达哥拉斯提出万物皆数，认为一切规律都可以用数字表达。音乐也不例外。他认为乐音之间的和谐性来源于频率之间的简单比例关系。 频率的比例关系越简单，则音级的关系越「和谐」。在这里，「简单」意指频率的关系可以用小的自然数的比例表示。
毕达哥拉斯学派提出的五度相生律做法为：先确定一个基准频率\(f\)，然后以\(\frac{3}{2}\)为比例累乘，生成各个音级的频率。这个过程中，一旦生成的频率达到\(f\)的两倍以上，就按\(\frac{1}{2}\)的比例将其缩小。
不难看出毕达哥拉斯和古中国人在乐律上不谋而合。《管子》一书记录的三分损益，实际上是以\(\frac{2}{3}\)和\(\frac{4}{3}\)为比例，对基准管长/弦长进行缩放。这实际上就是以\(\frac{3}{2}\)和\(\frac{3}{4}= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\)的比例对频率进行缩放。
下面的代码演示了如何按五度相生律生成音级。var coeff = []
for (var i = 0; i < 7; ++i) { // 一共只生成七个音级
// 从 4/3*f 开始，依次乘以3/2
var f = 4 / 3 * (3 / 2)**i;
// 总是将比例限制在1和2之间。之后只要将频率翻倍/减半，就可以得到八度关系上的所有音级。
while (f >= 2) f = f / 2;
while (f < 1) f = f * 2;
// 打印
if (coeff.length > 0) {
console.log(coeff[coeff.length - 1] + "生成" + f);
}
coeff.push(f);
}
coeff = coeff.sort();
function mod(a, b) {
return ((a % b) + b) % b;
}
const f5 = function(index) {
index = index + 5;
const p = Math.floor(index / 7);
return 440 / coeff[5] * coeff[mod(index, 7)] * 2**p;
}
const t = 0.4;
playNotes([
[f5(-3), 2 * t], [f5(-3), t], [f5(-1), t], [f5(0), t], [f5(2), t], [f5(2), t],
[f5(0), t], [f5(-1), 2 * t], [f5(-1), t], [f5(0), t], [f5(-1), 4 * t],
])
十二平均律
以往方法的缺陷
五度相生律和三分损益法在历史上长久以来发挥了重要的作用，但也都存在共同的问题，即使用\(\frac{1}{2}\)和\(\frac{3}{2}\)两种比例，无法从基础音级出发，生成各音级，然再次回到基础音级。用数学公式表述，即不存在正整数\(m,n\)，使得\((\frac{1}{2})^m \cdot (\frac{3}{2})^n = 1\).
这一问题就导致了转调的困难。例如，设有一套乐器从\(f_1\)出发，生成了\(f_2\)。现在有一首歌曲需要转调，希望以\(f_2\)作为基础生成各音级，我们会发现\(f_2\)无法生成\(f_1\)。因此旧的乐器无法完成转调任务，我们只得重新打造一把乐器！
平均律的提出
为了应对转调的需求，我们希望各音级是“平等”的，它们之间的距离是“均匀”的。这样，我们就可以以其中任何一个音为基准，生成其它的音。
人类的听觉对于高频声音不敏感。声音的频率指数增长时，在人听来，他们的「距离」却是均匀增加的。例如，设\(f\)是一常数，人耳会认为 \[(f, kf, k^2f, k^3f \dots)\] 这样一组声音是「等间距」的。
在十二平均律中，两倍频率的关系称为八度关系，将一个频率到其两倍之间的范围称为一个八度。例如，频率\(f\)和\(2f\)之间就是一个八度。将八度「十二等分」，就能得到十二平均律下的所有音级。
在八度上构造一个听觉上等间距的十二段，相当于求一个比例为\(2^{1/12}\)的等比数列。最早明确提出十二平均律，并且精确计算\(2^{1/12}\)的人是明朝的朱载堉。
十二平均律代码实现
记十二平均律下音级和频率的映射函数为f12()，假设f12(0)=440 Hz，以下代码实现了12平均律的计算，并基于十二平均律播放了一段旋律
const f12 = this.f12 = function(index) {
return 440 * (2**(1/12 * index));
}
const t = 0.4;
playNotes([
[f12(-5), 2 * t], [f12(-5), t], [f12(-2), t], [f12(0), t], [f12(3), t], [f12(3), t],
[f12(0), t], [f12(-2), 2 * t], [f12(-2), t], [f12(0), t], [f12(-2), 4 * t]
])
